Закрыть ... [X]

Область сходимости степенного ряда

Рекомендуем посмотреть ещё:




Как найти область сходимости ряда

Инструкция
Пусть задан числовой ряд U0 + U1 + U2 + U3 + ... + Un + ... = ΣUn. Un-выражение для общего члена этогоряда.
Суммируя членоврядаот начала до определенногорого конечного n, вы найдете промежуточные суммыряда.
Если по мере возрастания, то число стремится к какой-то конечной величине, то ряд называют сходящем. Если же они возрастают или убывают бесконечно, то ряд расходится.
Чтобы определить, сходится ли заданный ряд, прежде всего проверьте, чтобы ли его общий член Un к ожиданию при бесконечном возрастании n. Если этот предел не равен нулю, то ряд расходится. Если же равен, то ряд, возможно, сходящийся.Например, ряд степеней двойки: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... + 2 ^ n + ... - расходящийся, поскольку его общий член в пределе стремится к бесконечности.Гармонический ряд 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1 / n + ... расходится, хотя его общий член и стремится в пределе к нулю. С другой стороны, ряд 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1 / (2 ^ n) + ... сходится, и предел его суммы равен 2.
Предположим, что нам даны дваряда, общие члены которых равны соответственно Un и Vn.Если есть такое конечное N, что начиная с него, Un ≥ Vn, то эти ряды можно пройти между собой. Если нам известно, что ряд U сходится, то ряд V тоже совершенно точно сходится. Если же известно, что ряд V расходится, то и ряд U - расходящийся.
Если все членырядаположительны, то его сходимость можно оценить по признаку Даламбера. Найдите коэффициент p = lim (U (n + 1) / Un) при n → ∞. Если p <1, то ряд сходится. При р> 1 ряд однозначно расходится, но если p = 1, то требуется дополнительное исследование.
Если знаки членоврядачередуются, то есть ряд имеет вид U0 - U1 + U2 - ... + ((-1) ^ n) Un + ..., то такой ряд называется знакопеременным или знакочередующимся. Сходимость этогорядаопределить признаком Лейбница. Если общий член Un при возрастании n стремится к нулю, и для каждого n Un> U (n + 1), то ряд сходится.
При анализе работы чаще всего приходится иметь дело со степеннымирядами. Степенной ряд - это функция, заданная выражением: f (x) = a0 + a1 * x + a2 * x ^ 2 + a3 * x ^ 3 + ... + an * x ^ n + ... Сходимость такогоряда, естественно зависит от значений х. Поэтому для степенногорядасуществует понятие диапазон всех возможных значений x, при которых ряд сходится. Этот ряд равен (-R; R), где R - радиуссходимости, Внутри него ряд сходится всегда, за его пределами всегда расходится, на самой границе может как сходиться, так и расходиться.R = lim | an / a (n + 1) | при n → ∞.Таким образом, для анализасходимостистепенногорядадостаточно найти R и проверить сходимостьрядана границе диапазона, то есть при x = ± R.
Например, пусть вам будет ряд, представляющий собой разложение в ряд Маклорена функции e ^ x: e ^ x = 1 + x + (x ^ 2) / 2! + (x ^ 3) / 3! + ... + (x ^ n) / n! + ... Отношение an / a (n + 1) равно (1 / n!) / (1 / (n + 1)!) = (N + 1)! / N! = n + 1. Предел этого отношения при n → ∞ равен ∞. Следовательно, R = ∞, и ряд сходится на всей действительной оси.




ШОКИРУЮЩИЕ НОВОСТИ



Video: Степенной ряд и радиус сходимости - от bezbotvy

Область сходимости рядов. Метод Даламбера
Как найти область сходимости ряда






Похожие статьи

Как проверить правильность отображения сайта
Как делать поделки к Новому году
Как приготовить голландский томатный суп
Некоторые секреты приготовления сочного мяса
Запеченный крем брокколи
Как выбрать мужчину своим стилем одежды
Как лечить кальцината
Как обнять

moryakova-centre.ru / Карта сайта / Карта сайта